Математическое моделирование нелокальных геофизических процессов в сложных динамических системах

Руководитель:

Лафишев Мухамед Хабалович

2022

Построена математическая модель образования «теплых» гроз, учитывающая фрактальную структуру облачной среды, основанная на дифференциальном уравнении в частных производных дробного порядка по временной переменной. В аналитическом виде найдено решение уравнения модели. С помощью численных расчетов показана зависимость накопления заряда и напряженности электрического поля в «теплых» грозах от фрактальности облачной среды;
Предложена универсальная модель к описанию процесса роста плоских снежных кристаллов круглой формы в облаках смешанного типа с фрактальной структурой. В аналитическом виде найдено решение уравнения модели, в которой свойство фрактальности облачной среды учитывается через феноменологический параметр, определяющий интенсивность роста снежных кристаллов с применением аппарата дробного интегро-дифференцирования;
Построена локально-одномерная разностная схема для параболического уравнения общего вида в р-мерном параллелепипеде, описывающая коагуляционные процессы в средах, обладающих «памятью». Для решения соответствующих задач получены априорные оценки, откуда следует сходимость разностных схем;
Построено решение смешанной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка, главная часть которой представляет собой композицию лево- и правосторонних операторов дробного дифференцирования Римана-Лиувилля и Капуто. Найдено представление решения исследуемой задачи, а также получена оценка для собственных значений;
Рассмотрены вопросы гидрогеофизических исследований прорывоопасных приледниковых озер и завальных водоемов, гиперболических и круговых кривых скольжения оползневых массивов, фильтрационного потока через стену буросекущихся свай, а также разработка надежных конструкций грунтовых плотин и дамб.
Разработана новая методика определения объема водоемов на основе известных значений площади поверхности, максимальной глубины и глубин в 4 точках продольного и поперечного сечений (в том числе, по данным дистанционных измерений);
Разработана новая методика фильтрационного расчета противофильтрационной свайной «стены в грунте» из буросекущихся свай, основанная на заданных значениях диаметра свай и межцентренного расстояния между ними;
Разработана новая методика оперативной оценки геофизической устойчивости береговых склонов и риска перекрытия оползневыми массами русла водотока;
Получено аналитическое решение в элементарных функциях нелинейной задачи изгиба консоли вертикальной силой с расчётными формулами по прямому определению основных параметров изгибаемой консоли в зависимости от заданной величины силовой нагрузки (модуля);
Разработан новый способ восстановления аварийной грунтовой дамбы на слабом основании из сильносжимаемых водонасыщенных грунтов, подстилаемых коренными породами. Предложенный способ обеспечивает повышение надёжности работы грунтовой дамбы, снижение рисков её прорыва с возникновением техногенного паводка и наводнения.
Полученные результаты могут быть применены: при исследовании роли системных свойств облаков в формировании их микроструктурных характеристик и разработке технологии управления процессами осадкообразования в конвективных облаках путем внесения частиц льдообразующих реагентов; при исследовании опасных гидрогеофизических процессов, прорывоопасных приледниковых озер и завальных водоемов, а также прорывных селевых и фильтрационных потоков; при исследовании модельных уравнений движения в диссипативных средах с фрактальной структурой.

2023

Полученные в отчетном периоде результаты научного исследования послужат основой для дальнейшего развития исследований роли системных свойств смешанных конвективных облаков в формировании их микро- и макроструктурных характеристик, а также при теоретических и прикладных исследованиях водонасыщенных гидрогеофизических средах на горных и предгорных территорий для оценки опасных склоновых процессов и разработки рациональных защитных мероприятий в области водного хозяйства и природообустройства.
В первом разделе простроена математическая модель динамики зарядов и напряженности электрического поля вблизи заряженных сферических поверхностей гидрометеоров и капель в облаках с переменной фрактальной структурой. В аналитическом виде найдено решение уравнения модели, в которой свойство фрактальности облачной среды учитывается через феноменологический параметр, определяющий интенсивность роста зарядов и напряженности электрического поля вблизи заряженных облачных частиц с применением аппарата дробного интегро-дифференцирования. Проведен анализ роли твердых гидрометеоров и капель в электродинамических процессах (образование, накопление, разделение электрических зарядов) в грозовых облаках с точки зрения фрактальности облачной среды. Простроена математическая модель, описывающая влияние фрактальных свойств облачной среды на формирование гроз умеренных широт.
Во втором разделе проводились исследования по разработке локально-одномерных разностных схем для исследования закономерностей формирования микроструктурных характеристик смешанных конвективных облаков. Результаты исследований планируется использовать для построения модели микрофизических процессов в конвективных облаках на фоне заданной термогидродинамики. Методом суммарной аппроксимации построена локально-одномерная разностная схема для параболического уравнения общего вида в p–мерном пространстве. Проведены расчеты как отдельных микрофизических процессов в конвективных облаках, так и комплексов этих процессов, которые показали высокую эффективность разработанных разностных схем. На основе модели планируется проведение исследований по следующим актуальным направлениям: исследование закономерностей формирования микроструктурных характеристик смешанных конвективных облаков; исследование роли системных свойств облаков в процессах осадкообразования; моделирование активного воздействия на конвективные облака с использованием гигроскопических и льдообразующих реагентов с целью регулирования осадков и предотвращения градобитий.
В третьем разделе проведено исследование краевых задач для линейных уравнений с дробными производными с различными началами, возникающих в геофизических средах при моделировании диссипативных колебательных систем.
Четвертый раздел посвящен изучению условий возникновения и развития горных прорывоопасных водных объектов – приледниковых озер и запрудных водоемов, прорывы которых представляют большую угрозу безопасности жизнедеятельности для нижерасположенных населенных пунктов и объектов экономики. При этом одним из важных вопросов является определение гидрогеофизических характеристик водоемов (площади поверхности, объема, максимальной и средней глубины), необходимых для создания математических моделей, оперативного прогноза развития водоема и риска его прорыва в чрезвычайных ситуациях.
Получена гидромеханическая модель заглубленного начального потенциально-импульсного воздействия на гидрогеофизический массив, в котором дано новое решение задачи с непосредственным аналитическим определением в элементарных функциях характеристик потенциального потока.
Получено гидромеханическое решение задачи фильтрации в затопленном массиве с вертикальными дренами с водой, в котором дано новое гидромеханическое решение с использованием годографа скорости и представлением расчетных зависимостей в элементарных функциях, совпадающее для граничных точек с точными данными и согласующееся (1 процент) с результатами точных подсчётов профессора Ведерникова В.В. для частных случаев. Полученное решение, упрощенное и удобное при решении практических задач, выгодно отличается от известных решений, представленных чрезвычайно сложными математическими зависимостями в комплексных переменных (эллиптическими функциями Якоби и др.), затрудняющими их использование для прикладных исследований.
Получена гидромеханическая модель высачивания фильтрационного потока через наклонный водонасыщенный грунтовый склон на основе гидравлико-математического решения, в котором получены расчетные зависимости по определению параметров фильтрации, высачивающейся на грунтовый склон (фильтрационного расхода, выходных градиентов напора и скоростей фильтрации), имеющие важное значение для прогноза устойчивости склона и назначения защитных мероприятий.