Краевые задачи и задачи управления для основных и смешанного типов уравнений и их применение к исследованию систем с распределёнными параметрами

Руководитель:

Аттаев Анатолий Хусеевич

2022

На первом этапе работы были получены следующие научные результаты:

• Исследованы локальные и нелокальные задачи и задачи граничного управления для класса нагруженных гиперболических и смешанного типа уравнений. В частности, решены новые задачи с внутренне-краевым смещением для существенно нагруженного волнового уравнения, выявлено влияние типа нагрузки на выбор многообразия, выступающее носителем граничных данных.
• Исследованы первая и вторая задачи Дарбу для уравнения Геллерстедта в области с отходом от характеристики; найдены условия разрешимости аналогов задачи Трикоми и задачи со смещением для характеристически нагруженных и вырождающихся и смешанного типа уравнений. Установлен критерий единственности решения задачи с внутренне-краевым условием для уравнения параболо-гиперболического уравнения.
  Исследован аналог задачи Дезина для уравнения параболо-гиперболического типа с условиями периодичности.
• Решена задача оптимального управления для уравнения диффузии дробного порядка, когда след нормальной производной присутствует в целевом функционале.
  Полученные результаты вписывается в современное состояние исследований в этих направлениях, что подтверждается ссылками на соответствующие публикации.

2023

За отчётный период были получены следующие научные результаты:

• Исследованы новые внутренне-краевые задачи и задача граничного управления с двухточечным нелокальным условием для нагруженных гиперболических уравнений. Сформулирован критерий существования начальной задачи для нагруженного гиперболического уравнения, которые существенно зависят от выбора нагрузки. Для нагруженного уравнения дробной диффузии рассмотрена краевая задача в положительном квадранте. Показано, что её разрешимость зависит от порядка дифференцирования нагруженного слагаемого и поведения линии, являющейся носителем нагрузки в окрестности начала координат. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости задачи.
• Найдены условия существования единственного решения нелокальных задачи со смещением на сопряжение волнового уравнения и вырождающегося гиперболического уравнения первого рода. Доказана теорема об априорной оценке решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Гельмгольца в области эллиптичности и вырождающимся гиперболическим оператором первого рода в области гиперболичности. Исследована смешанная краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка.
• Найдены достаточные условия существования единственного решения аналога задачи Трикоми для одного характеристически нагруженного модельного уравнения сме шанного гиперболо-параболического типа второго порядка. Сформулирован критерий единственности решения аналога задачи Дезина для уравнения параболо-гиперболического типа с условиями периодичности.

Полученные результаты органически вписываются в современное состояние исследований в соответствующих направлениях, что подтверждается ссылками на многочисленные публикации как российских так и зарубежных авторов. На основе исследований корректной разрешимости краевых задач для различных нелокальных уравнений в частных производных сформулированы новые задачи оптимального управления при моделировании динамических систем, носящих диффузионно-волновой характер, и предложены эффективные алгоритмы их реализации.