Численные методы решения краевых задач математической физики и компьютерное проектирование оптимальных сетевых систем

Руководитель:

Кудаев Валерий Черимович

2022

2023

Результаты, полученные в ходе выполнения научно-исследовательской работы могут быть использованы при разработке и численной реализации математических моделей распределенных систем. Результаты по потоковым сетям могут быть востребованы при проектировании оптимальных трубопроводов (нефтепроводы, газопроводы).
Результаты важны также для развития методов численного решения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, уравнений параболического, псевдопараболического и смешанного типов.
Разработан метод компьютерного проектирования трассировки потоковых сетей высокого ранга оптимальности, который обеспечивает возможность построения сетей до 7-го ранга оптимальности и компьютерного проектирования не одной, а нескольких сетей равного ранга оптимальности, что важно для проектных организаций, т. к. обеспечивает возможность выбора из них наилучшей с точки зрения проектировщиков.
Разработан метод построения потоковых сетей Штейнера 2-го ранга оптимально- сти с оптимальным количеством точек Штейнера, а также разработана компьютерная система проектирования распределительных гидравлических сетей с оптимальным ко- личеством точек Штейнера, рассчитанные на проектирование нескольких сетей равного ранга оптимальности и различной структуры.
Исследованы краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса, включая численное решение обобщенного уравнения Аллера – Лыкова, а также краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса с операторами дробного и дробно распределенного порядков, начально-краевые задачи для многомерного уравнения влагопереноса и уравнения Аллера с переменными коэффициентами.
Рассмотрены вопросы численного решения краевых задач для нагруженных параболических уравнений, в том числе сеточный метод решения краевых задач для нагруженного уравнения теплопроводности, построены локально-одномерные схемы в многомерной области с неоднородными краевыми условиями первого рода и с краевыми условиями третьего рода.
Для каждой задачи построен алгоритм численного решения поставленной задачи и проведены численные расчеты тестовых задач, иллюстрирующие полученные теоретические выкладки, касающиеся сходимости и порядка аппроксимации предложенной разностной схемы.
Полученные результаты носят в основном теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для одномерных и многомерных диффузионно-волновых уравнений с переменными коэффициентами, могут найти применение в области теории разностных схем, в области вычислительной математики, а также в области численного моделирования.
Построенные для каждой из рассматриваемых исходных задач разностные схемы, могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к многомерным диффузионно-волновым уравнениям, например, при математическом моделировании облачных процессов, при рассмотрении проблемы активного воздействия на конвективные облака с целью предотвращения града и искусственного увеличения осадков, влагопереноса в почвогрунтах, движения жидкости в трещиновато-пористых средах. Задачи с интегральным (нелокальным) источником возникают при описании функции распределения по массам капель за счет микрофизических процессов конденсации, коагуляции, дробления и замерзания капель в конвективных облаках.