О решении некоторых классов диофантовых уравнений методом тождеств

Ф.Х. Увижева, М.Х. Калажокова

Институт информатики и проблем регионального управления –филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр«Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»

Аннотация: Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из важнейших проблем теории чисел. Известно, что в общей постановке задача описания множества решений диофантовых уравнений в целых числах алгоритмически неразрешима. Несмотря на усилия многих поколений математиков, в этой области до сих пор отсутствуют общие эффективные методы их решения. В настоящей работе рассмотрены некоторые классы диофантовых уравнений, решение в целых числах которых представляет интерес как само по себе, так и, например, в процессе исследования сложных дискретных систем, при поиске оптимальных структур в органической химии и молекулярной физике, при расшифровке компьютерных алгоритмов, криптографии, в экономике и теории вероятностей. Используя известные в алгебре тождества и их модификации, а также метод математической индукции и метод Лагранжа, в работе показан эффективный метод решения как классических диофантовых уравне­ний, так и некоторых их обобщенных вариантов. В результате получены формулы, выражающие целые решения диофантовых уравнений. Этот метод можно применять также и для других классов диофантовых уравнений.

Ключевые слова: диофантовы уравнения, алгебраические тождества, метод математической индукции, тождества Лагранжа, уравнение Пелля.